【数学メモ】凸関数の連続性

※【数学メモ】は勉強内容の復習として数学関連のことをなんとなくテキトーにまとめたメモです.不備や誤りなどがあればコメント等でお願い致します.

定義
 \phi \mathbb{R}上実数値関数とする.

 \phiが下に凸であるとは,任意の x,y \in \mathbb{R}および任意の \lambda \in (0,1)に対して,

 \phi ( \lambda x +(1-\lambda) y) \leq \lambda \phi (x) + (1-\lambda) \phi (y) \tag{1}
が成立することをいう.

  - \phiが下に凸であるとき,  \phiは上に凸であるという.


命題 1
 \phi \mathbb{R}上実数値関数とする.このとき,

 \phiが下に凸  \Rightarrow 任意の x_1 , x_2 , x_3 \in \mathbb{R} \hspace{0.1cm}(x_1 < x_2 < x_3)に対して,

 \displaystyle \frac{\phi (x_2) - \phi (x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{\phi (x_3) - \phi (x_1)}{x_3 - x_1} \leq \frac{\phi (x_3) - \phi (x_2)}{x_3 - x_2} . \tag{2}

(証明)
任意の x_1 , x_2 , x_3 \hspace{0.1cm} (x_1 < x_2 < x_3)をとる.  \alpha = \frac{x_3 - x_2}{x_3 - x_1}とおくと,  0 < \alpha <1,  x_2 = \alpha x_1 + (1-\alpha) x_3.
仮定より \phiは下に凸であるから,  \phi (x_2) \leq \alpha \phi (x_1) + (1-\alpha) \phi (x_3) . \tag{3}
 (3)式より,

 \alpha ( \phi (x_3) - \phi (x_1) ) \leq \phi (x_3) -\phi (x_2) . \tag{4}
 \alpha = \frac{x_3 - x_2}{x_3 - x_1}であるから (4)式の両辺を x_3 -x_2 ( > 0)で割ることにより,

 \begin{eqnarray} \frac{\phi (x_3) - \phi (x_1)}{x_3 - x_1} \leq \frac{\phi (x_3) - \phi (x_2)}{x_3 - x_2}. \tag{5} \end{eqnarray}

また, (3)式の両辺に - \phi (x_1)を加えると,

 \begin{eqnarray}  \phi (x_2) - \phi (x_1) \leq (1- \alpha) (\phi (x_3) - \phi (x_1)). \tag{6} \end{eqnarray}
 1- \alpha = \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_1}より (6)式の両辺を x_2 - x_1 (>0)で割って,

 \displaystyle \frac{\phi (x_2) - \phi (x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{\phi (x_3) - \phi (x_1)}{x_3 - x_1}. \tag{7}

 (5)式, (7)式より (2)式が示せた.\square

(※命題1の逆も真である.)


命題 2
 \phi \mathbb{R}上実数値関数とする.このとき,

 \phiが下に凸  \Rightarrow  \phi \mathbb{R}上連続.

(証明)
任意の  a,b,x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R} \hspace{0.1cm} (a < x_1 < x_2 < x_3 < b)をとり,  a , x_2 , bを固定する.

 a < x_1 < x_2に対して命題1より,
 \displaystyle \frac{\phi (x_2) - \phi (a)}{x_2 - a} \leq \frac{\phi (x_2) - \phi (x_1)}{x_2 - x_1}. \tag{8}

 x_1< x_2 < bに対して命題1より,
 \displaystyle \frac{\phi (x_2) - \phi (x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{\phi (b) - \phi (x_2)}{b - x_2}. \tag{9}

(8)式, (9)式より,
 \displaystyle \frac{\phi (x_2) - \phi (a)}{x_2 - a} \leq \frac{\phi (x_2) - \phi (x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{\phi (b) - \phi (x_2)}{b - x_2}.  \tag{10}


 a, x_2, bは固定しているので, \frac{\phi (x_2) - \phi (a)}{x_2 - a} , \frac{\phi (b) - \phi (x_2)}{b - x_2}は定数である( M = \frac{\phi (x_2) - \phi (a)}{x_2 - a}, N = \frac{\phi (b) - \phi (x_2)}{b - x_2}とおく).

 \displaystyle M \leq \frac{\phi (x_2) - \phi (x_1)}{x_2 - x_1} \leq N  \Leftrightarrow M (x_2 - x_1) \leq \phi (x_2) - \phi (x_1) \leq N (x_2 - x_1).

任意の \varepsilon > 0 をとる.

[1]  M=N=0 のとき,  \delta = a ( aは任意の正数)をとると,

 - \delta < x_1 -x_2 < 0 \Rightarrow |\phi (x_2) - \phi (x_1)| < \varepsilon .

[2]  M=N \neq 0 のとき,  \delta = \frac{\varepsilon}{|N|}ととると,

 - \delta < x_1 -x_2 < 0 \Rightarrow |\phi (x_2) - \phi (x_1)| < \varepsilon .

[3]  0 \leq M < N のとき,  \delta = \frac{\varepsilon}{N}ととると,

 - \delta < x_1 -x_2 < 0 \Rightarrow |\phi (x_2) - \phi (x_1)| < \varepsilon .

[4]  M < N \leq 0 のとき,  \delta = - \frac{\varepsilon}{M}ととると,

 - \delta < x_1 -x_2 < 0 \Rightarrow |\phi (x_2) - \phi (x_1)| < \varepsilon .

[5]  M< 0 < Nのとき,  \delta = \min \{ - \frac{\varepsilon}{M} , \frac{\varepsilon}{N} \}ととると,

 - \delta < x_1 -x_2 < 0 \Rightarrow |\phi (x_2) - \phi (x_1)| < \varepsilon .

ゆえに  \varepsilon >0に対して,ある  \delta > 0が存在して  - \delta < x_1 -x_2 < 0 \Rightarrow |\phi (x_2) - \phi (x_1)| < \varepsilon.

よって,  \phi x_2 \in \mathbb{R}で左連続である.

同様に \phi x_2 \in \mathbb{R}で右連続である.

 \phi x_2 \in \mathbb{R}で右連続かつ左連続であるから,  \phi x_2 \in \mathbb{R}で連続である.

したがって  \phi \mathbb{R}上連続である. \square

(※  \mathbb{R}上実数値関数 \phiが上に凸であるならば,  \phi\mathbb{R}上連続である.)